Factorización de Polinomios

-Factor común

En el polinomio 3 x + xb - 1/2 xc el factor común es x y se tiene:

3x + xb - 1/2xc = x.( 3 + b - 1/2c)

En el polinomio 2x⁴a - 4x³a²b + 1/2 xa⁵c

Sacando factor común x a se tiene:

2x⁴a - 4x³a²b + 1/2 xa⁵c = xa. ( 2x - 4x²ab + 1/2a⁴c )

Regla: Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

-Factor común en grupos

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común

(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )

Saco el factor común de cada grupo

a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

(a + b) . ( 2x -y +5 )

 

Regla: Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los paréntesis, se saca a su vez como factor común, quedando así factoreado el polinomio dado

-Trinomio Cuadrado Perfecto

36x² + 12xy² + y² + y⁴

El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x)² = 36x²; el último es el cuadrado de y², pues (y²)² = y⁴, y el segundo término es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es decir de 6x por y², pues 2 × 6x × y² = 12xy²

 
(6x + y2 )2 = 36x2 + 12xy2 + y4

Regla: En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado:

 

(6x - y2 )² = (6x - y2 ).(6x - y2 )=6x² - 12xy² + y²

-Cuatrinomio cubo perfecto

Todo cuatrinomio de la forma a³ + 3a²b + 3ab² + b³ en el que dos términos:
a³ y b³, son cubos perfectos; el tercer término 3a²b, es el triple del cuadrado de la base del primer término por la base del segundo, y el cuarto término 3ab²,es el triple de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo 

x³ + 6x²y + 12xy² + 8 y³

 

Es un cuatrinomio cubo perfecto, pues:

x³ = (x)³
8y³ = ( 2y )³
6x²y = 3.(x)².2y
12xy² = 3.x.(2y)²

 

Este nombre de cuatrinomio cubo perfecto se debe a que dicho cuatrinomio proviene del cubo de un binomio:

( x+ 2y )³ = ( x+ 2y ). ( x+ 2y ).( x+ 2y ) =x³ + 6x²y + 12xy² + 8y3

En el caso de una resta :

( x -2y )³ = ( x - 2y ). ( x - 2y ). (x - 2y )=x³ - 6x²y + 12xy² - 8y ³

 

-Diferencia de cuadrados

El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo:

( a +b ) . ( a - b) = a² - b²

25 - 1/64 z⁸ =( 5 - 1/8 z⁴) . ( 5 +1/8 z⁴)

Regla: Se aplica en una diferencia de binomios, en el cual sus términos estén elevados al cuadrado.

Sexto caso

-Suma o diferencia de potencias de igual grado

La suma de potencias de igual grado de exponente impar es divisible únicamente por la suma de sus bases.

( x³ + a³ ) : ( x + a ) = ( x² - ax + a²)

Como se trata de una división exacta, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente. Luego:

( x³ + a³ ) = ( x + a ). ( x² - ax + a² )

 

La diferencia de potencias de igual grado de exponente impar es igual al producto de la diferencia de las bases por el cociente de dividir la primera diferencia por la segunda

( m³ - 27 n³ ) : ( m - 3 n) = ( m² + 3mn + 9 n²)

La diferencia de potencias de igual grado de exponente par, es divisible por la suma y la diferencia de sus bases

( x⁶ - y⁶ ) : ( x + y ) =

( x + y ). ( x⁵ - x⁴y + x³y² - x²y³ + xy⁴ - y⁵ )

( x⁶ - y⁶ ) : ( x - y ) =

( x - y ). ( x⁵ + x⁴y + x³y² + x²y³ + xy⁴ +y⁵ )

-Trinomio de segundo grado

Es un "trinomio", pero no es "cuadrado perfecto". Se puede factorizar buscando las "raíces" con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza así: a.(x - x1).(x - x2). En este ejemplo "a" es igual 1, entonces no lo ponemos. También hay otro método para factorizarlo, pero no se puede aplicar en cualquier ejemplo.

x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)

x1,2 =

a = 1
b = 3
c = 2
x1,2 =

x1 =       (con la suma)
x2 =       (con la resta)
x1 = -1
x2 = -2

a.(x - x1).(x - x2)
1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)

-Factoreo por Gauss 

Ejemplo: (Con coeficiente principal distinto de 1)
2x3 - 3x2 - 11x + 6 = (x + 2).(x - 3).(2x - 1)

Divisores del término independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, -1, 2, -2
Posibles raíces del polinomio: k/a
Entonces pueden ser raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2

El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios: (x - 1),
(x + 1), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x - 3), (x + 6), (x - 6), (x + 1/2),
(x - 1/2),(x + 3/2) ó (x - 3/2). Es decir (x - a), siendo "a" una de esas posibles raíces.

Pruebo hacer varias de esas divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto dá 0:

 

  | 2  -3  -11   6
  |
  |
-2|    -4   14  -6
    2  -7    3 | 0

Cociente: 2x2 - 7x + 3           Resto: 0

Por ahora, la factorización queda: (x + 2).(2x2 - 7x + 3).
En el polinomio de segundo grado que quedó puedo volver a buscar raíces con Gauss, o aplicar el Séptimo Caso (usar la cuadrática). Voy a seguir con Gauss:

2x2 - 7x + 3 =
Posibles raíces: 1, -1, 3, -3, 2, -2, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
Cuando pruebo dividir por (x - 3), encuentro que el resto dá 0:

  | 2  -7   3
  |
  |
 3|     6  -3
    2  -1 | 0

Cociente: (2x - 1)      Resto: 0
Como ya tengo todos polinomios de grado 1, la factorización queda así:
(x + 2).(x - 3).(2x - 1)

Según Gauss, es posible encontrar raíces de un polinomio entre los divisores del término independiente, y en los cocientes que forman esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que dividir al polinomio por (x - raíz), división que tiene como resto 0.

  Profesora: Giselle Vallejos